在小学和高中阶段接触到的数学知识，实际上只是这一广阔领域中非常微小的一部分。数学是一个包含深刻科学原理、丰富知识以及艺术美感的多元领域，远超过了学校课堂上所学习的基础内容。这种情况就像观察彩虹时，人们仅能看到有限的光谱部分，而无法直接感知到存在于更宽广光谱中的奇妙景象，除非借助特定工具。
数学作为一个研究领域，有许多子学科，在这篇文章中，我们将逐一介绍主要的学科，并试图解释它们包含什么以及我们为什么研究它们。
对于希望学习数学的学生和试图进入该领域的业余爱好者来说，读到像“代数拓扑”这样的词可能会被吓到。这不应成为一个障碍，因为只要足够分解，就能让它变得易于理解。
数论（Number Theory）
这是数学最古老的子领域之一。它自古以来就一直被研究，从许多方面来看，它是所有数学的基石。我个人一直非常喜欢它，因为它的纯粹性。
但它究竟是关于什么的呢？
数论这一学科专注于研究自然数，也就是我们用来计数的正整数。考虑到人类已经花费了将近4000年的时间来探索这些看起来非常基础的数字，有人可能认为到现在为止，我们对它们的了解应该已经十分彻底了。
但就像生活中的许多事情一样，这种看似简单的模式在更深入地探索时变得复杂得多。特别是，在探索加法和乘法这两个简单的运算时，它们变得非常神秘。
在数论的研究领域中，对自然数即正整数的乘法结构的探索占据了重要位置。这种探索基于一个关键的发现：自然数可以通过一种被称为“乘法DNA”的方式来理解，即每个自然数都可以表示为质数的乘积。这一概念借鉴了生物学中DNA的原理，其中生物的遗传信息是通过一系列基础分子的组合来编码的。通过这样的视角，自然数的构成被看作是质数的特定组合，这种组合唯一地确定了每个数的性质，就像DNA决定了一个生物的基本特征一样。
质数是大于1的数p，使得p的唯一除数是1和p。质数序列开始于2, 3, 5, 7, 11, …，寻找第n个质数的通用公式从公元前300年希腊人开始研究它们以来，一直是数学的一个圣杯。
为了让你感受到这种独特性，以12为例。12的质数分解是{2, 2, 3}，因为12 = 2⋅2⋅3 ，并且它不能使用任何其他质数来表示。
这立即引发了两个非常自然的问题：
- 自然数中的质数分布有没有规律？
- 质数有多少个？
我们知道，随着数字越来越大，质数变得越来越稀少。连续质数之间的间隔可以任意大，然而公元前300年，欧几里得证明实际上存在无限多个质数。
我们也知道质数的近似分布，即我们有渐近公式来估算一定数值范围内质数数量。高斯猜想质数大致像函数x/log(x)那样增长，这里的log是自然对数（在其他情境中经常表示为ln），这在19世纪末被证明。从那时起，寻找更好的近似一直在进行中。我们相信为真的最终结果称为黎曼假设（Riemann Hypothesis），然而，这到今天仍然未解决。
应该提到的是，数论内有许多子学科。有解析数论（将数论和复分析结合起来）、代数数论等，但我宁愿向你解释分析和代数究竟是关于什么，而不是列出所有这些领域。
在结束之前，引用一位大师的名言：
数学是科学的女王，数论是数学的女王。— 卡尔·弗里德里希·高斯
几何学（Geometry）
几何学与数论一起，是数学中最古老的学科之一，传统上关注形状、大小、距离、角度等。
几何学的概念和原理在所有的自然科学领域中都有着广泛的应用，这使得它成为教育课程中不可或缺的一部分。从小，学生们就被引导学习关于基础几何形状如三角形、圆形和直线的知识。
以物理学为例，几何学的应用达到了非凡的深度和广度，特别是在爱因斯坦的广义相对论中。在这一理论框架下，重力不再被看作是物体间的一种力，而是被理解为时空本身几何形状的表现。这里的时空被描述为四维流形，包含了三个空间维度和一个时间维度。在这种观点下，物质对时空的存在造成了弯曲，而这种弯曲正是我们所感知到的重力。这一几何学视角不仅展示了其在理论物理中的核心作用，也体现了几何学作为连接数学与自然科学的桥梁的重要性。
几何学是第一个被公理化（由古希腊人）的领域。
传统上，有三种不同类型的几何学。通过稍微改变公理，可以得到球面几何学，其中三角形的角度和大于180度；在另一个方向上，有双曲几何学，任何三角形中角度和小于180度；然后在中间，有我们在学校学到的欧几里得几何学（平面几何学）。
还有射影几何学，在那里我们允许平行线在“无限远点”相交，这在丢番图方程和椭圆曲线理论中扮演关键角色。
几何学当然与三角学密切相关，在那里我们研究由单位圆定义的角度的函数。
当数学家谈论几何学时，他们通常指的是微分几何或代数几何。在微分几何中，我们使用定义在这些形状上的光滑函数研究几何形状在几个维度上的局部属性。
在代数几何中，我们研究由多元多项式方程的解定义的形状，这些形状称为代数簇，使用来自抽象代数的理论。
几何学是世界之美的原型。— 约翰内斯·开普勒
代数学（Algebra）
代数将数字的概念进行了抽象化，通过引入变量作为数字的代表，允许我们在初等代数层面上探讨和理解算术运算的基本规则和性质。
随着数学学习的进展，抽象代数作为一个更为高级的领域被引入。在这一领域中，研究的焦点转向了数学结构的广泛类别，如群、环和域等，这些概念帮助我们了解不同数学对象集合内部的结构和对称性。群关注于元素间的对称性和运算，环则研究了包含加法和乘法运算的集合的结构，这些结构代表了代数学的深度和广度。
代数还研究向量空间及其之间的线性算子，这些算子称为矩阵，它们构成线性代数的领域。
有人说代数是数学的粘合剂，是数学的语言。没有代数，人类就不会走得很远。每次解方程时，我们以某种形式使用代数技术。实际上，历史上代数的首次使用是为了得到一种解决频繁出现的方程的方法。
埃及人、巴比伦人和古希腊人是最早探索代数技术的人，但直到9世纪波斯数学家花拉子米（al-Khwarizmi）发表了该主题上最有影响力的书籍之一，该领域才作为数学的一个独立分支脱颖而出。
几百年来，波斯、阿拉伯和印度数学家发展了这一学科，而欧洲和世界其他地区实际上几乎停滞不前。然后在13世纪，来自阿拉伯世界的旅行商人将他们的代数知识传递给了欧洲，然而，当这些知识传入欧洲时，由于当时的宗教和学术机构的保守性，这些来自外部的数学知识的接受和传播遭遇了障碍。特别是，教会和当时的学术文化在很大程度上控制了教育和学术研究的内容，它们对于外来知识的接受持保守态度，导致了这些宝贵的数学知识在欧洲的广泛传播和应用被延迟了大约300年。在意大利，印度-阿拉伯数字甚至在一段时间内被非法化！想象一下，因为写下“2”而不是“II”被送进监狱。
一旦代数从教会中解放出来，便开始迅速发展。欧洲全速进入文艺复兴时期，与之而来的还有数学的文艺复兴。在一次难以置信的智力飞跃中，勒内·笛卡尔通过在二维坐标系统中画函数图形将几何学和代数结合起来，这个坐标系统仍然以他的名字（笛卡尔坐标系统）命名，从此两个学科一直密切相关。
代数和几何的双重性是我们至今仍在学校教给孩子们的东西，在大学中，它已经变成了代数几何这一异域领域，我们通过抽象代数技术（如环和理想（某些好的子环））研究由多项式方程的解形成的几何形状。
代数是为了使世界的量化方面变得清晰而创造的智力工具。— 阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德
分析学和微积分（Analysis and Calculus）
分析学和微积分是函数学的研究。特别是，它研究可微函数及其属性。分析学领域关于解剖函数以理解其属性，而微积分通常关于使用各种技术对函数进行微分和积分的理论。
微分方程在应用数学中特别重要，是物理学和工程学中最重要的工具之一。实际上，几乎所有的物理定律都可以用微分方程的语言来表述！
还有复分析的子领域，它关注复变量函数的分析和微积分。事实证明，这个理论与实分析大不相同，在某种意义上，它拥有更为丰富的理论。复分析如此强大，以至于许多实际问题只能使用复分析来解决。例如，在电工工程和物理学中，经常会遇到需要计算电流在不同介质中的分布或磁场中电荷的运动轨迹的问题。这些问题可以通过解麦克斯韦方程来理解和预测，而麦克斯韦方程在复平面上的表现形式可以利用复分析中的方法来求解。
当我们将复分析与数论结合时，得到了解析数论，在这里我们使用复函数的全纯（复可微）属性揭示了我们的自然数的秘密！
将分析学与几何学结合时，得到了微分几何，在这里我们使用来自微积分的理论来研究形状。
在分析学内部，还有测度理论，使我们能够以更一般的意义讨论面积和体积，并找到比ℝ^n的子集更一般的集合的“体积”。这一理论是概率论的基石！
积分理论与测度论之间存在密切的联系，特别是在处理一些特殊类型的积分问题时。测度论是一门专注于度量集合“大小”或“体积”的数学分支，为积分理论提供了基础，尤其是对于那些超出传统黎曼积分应用范围的函数。黎曼积分方法主要用于计算简单函数在特定区间的积分，但它在处理复杂函数或在更广泛的集合上的积分时受到限制。
微积分是人类智慧迄今为止设计出的最强大的思想武器。— 华莱士·B·史密斯
拓扑学（Topology）
拓扑学是一门基础数学学科，在这里我们研究“形状”，但我们感兴趣的参数不是几何学中的基本属性，如大小、角度、曲率或光滑函数。
相反，在拓扑学中我们对于在拉伸、弯曲和粘合（在一定程度上）下的形状分类感兴趣，但不包括撕裂和切割。拓扑学感兴趣的映射不需要是光滑的（保持几何性），而是连续的（保持拓扑性）。从这个意义上说，拓扑学比几何学更“基础”。
拓扑形状概念的经典例子是咖啡杯和甜甜圈在拓扑上是等价的，因为如果咖啡杯是无限可拉伸的，那么可以将咖啡杯变形为甜甜圈的形状——本质特征是那个洞！
当我们将拓扑学与抽象代数的工具和技术结合时，这个领域尤其强大。这个领域被称为代数拓扑学。事实证明，每一类形状都有某种代数对称性，称为群附加在其上（每个维度一个群），这些群的代数特性转化为给定类形状的拓扑特性。
在拓扑学中，还有更为细分的主题，如结理论，在那里我们研究数学结以及其他更为奇特的
拓扑学正是允许从局部到全局过渡的数学学科。— 勒内·汤姆
离散数学（Discrete mathematics）
离散数学是几个子学科的集合，范围从组合数学和图论到数理逻辑和公理集合论。它们共同的特点是它们都关注非连续的数学对象（“离散”的意思是不连续的）。
组合数学是数学中的计数艺术。我们在概率论和其他相关领域使用组合数学的技术，其中选择、组合和排列是主要因素。
在图论中（顺便说一下，它也可以被视为拓扑学的一部分），我们研究对象及其关系，其中只有关系是重要的，而不是大小或度量。
一个熟悉的例子是社交网络，其中的关系（或称为边）代表友谊，但我们不关心朋友之间的物理距离！另一个例子是我们熟悉的地铁图。无论如何，它绝对不保持角度或距离。重要的是你是否能从A点到达B点以及你需要乘坐哪列火车。所以，关系是重要的特征。
离散数学也可以与连续数学结合成为具体数学的子领域。在这里，我们通常使用多项式和幂级数，两个领域之间的交集在于离散系数和幂级数作为函数的连续性质之间的相互作用。
这些函数（其中系数计数某些东西或代表某种感兴趣的序列）被称为生成函数。
离散数学是不同领域主题的混合，包括抽象代数中的群、环、域和数理逻辑等。
数理逻辑关注数学的语言和它的基础。数学陈述的严格表述和真理本身的定义。我们使用形式语言和数学的基石——公理。
还有集合论，从某种意义上说，它是最基本的理论，因为其他一切都可以从它构建。至少在理论上是这样。在集合论中，我们研究称为集合的事物的集合，如数字，包括无限的数字集合。
我们了解到，一些集合包含的无限事物比其他集合更大，即存在不同种类的无限。实际上，有无限多种不同大小的无限！
数学方法的重点似乎已经从支配数学物理学的微分方程算法转移到了组合数学和集合论——远离了。— 约翰·冯·诺依曼
结束语
我希望这篇文章能够对不同的数学学科及其相互之间的联系有所阐明。个人而言，当我开始学习数学时，我希望有这样一个概览，以便让我了解自己所处的位置以及接下来去哪里。
一旦你有了这个概览，你开始获得的一个关键洞见是，我们在各个子领域中研究的许多概念实际上是相同的概念！我们只是从不同的角度来看待它。因此，似乎在各个领域之间存在着普遍的属性。
例如，为了研究向量空间，真正感兴趣的对象变成了保持它们结构的函数，即线性映射（矩阵）；为了从抽象代数研究群，我们研究它们之间保持结构的映射，称为同态；拓扑空间之间保持结构的映射是连续映射；集合之间保持结构的映射是函数，等等。
某些空间之间的特定结构保持映射等同于等价空间之间其他结构保持映射。
研究上述抽象结构的领域称为范畴论，它是对数学及其子领域本身的抽象。它是数学的代数！
有人说数学是一个城堡，你在真实陈述上不断建造；有人说是一张纠缠的思想网；有人说它是一门科学，也有人说它不是。
我说它是知识、真理、优雅和美的艺术。
巴拿赫这样评价它：
数学是人类精神最美丽、最强大的创造。— 斯特凡·巴拿赫
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